趣味数学题：关于蜂窝网络

题：平面内，由若干相邻全等正六边形组成蜂窝网络，其中部分蜂窝为深色，其余为浅色，问：深色蜂窝如何分布可满足如下条件？此时深浅色蜂窝比例为多少？

1）每个深色蜂窝被6个浅色蜂窝围绕，

2）不可能将任何浅色蜂窝改为深色，而继续满足条件（1）。

题目不难，大概算初中程度，不过之前确实没想过，昨天读施坚雅（[[G.W. Skinner]]）的《中国农村的市场和社会结构》才遇到这问题，而且答案与直觉还有点出入。

施坚雅在该书中提出的蜂窝模型（姑且这么叫吧）大名鼎鼎，如雷贯耳，不过读了原著还是发现比以前听说和想象的更精致巧妙的多，是社会结构自组织（或曰自发秩序）的一个精彩案例，该模型中基本的单位是“基层市场”（蜂窝），其标准配置是1个基层集镇和围绕它18个村庄，这些村庄组成两个环，内环6个，外环12个，从集镇辐射出6条小路，通往这些村庄。

蜂窝比较简单，但蜂窝之间的组合就颇为复杂，面临两个结构问题，首先，相邻蜂窝之间会发生分化，其中一些集镇会升级为二级集镇，为周边市场提供后者无法提供的市场功能，如批发和中介服务、需求量较小的商品和服务等，典型的二级集镇由6个基层集镇所围绕，它们共同组成一个二级市场，问题是：如何围绕法？具体的空间分布是怎样的？（这就是上面的题目所问的）

其次，传统集市大多不是每天开市，而是按某种频率隔几天开一次，即所谓“集期”（period of market），比如“逢一市”就是每旬第一天开市，“一六市”每旬开两天，还有“一四七”“二五八”等等；如此安排，一是因为集市所覆盖范围内交易量太小，无须每天开市，二是因为单一集市的交易规模不足以支撑许多生意类别，多个相邻集市轮流开市可以让行商每天有生意可做，问题是：各相邻集市之间如何协调集期？

对第二个问题，施坚雅发现，每个新开基层集市只须依此遵循下列规则，系统便可达致理想结构：

1）首先，避开邻近上级集市的集期；

2）其次，避开邻近基层集市的集期；

3）若有可能，也避开同一二级市场的其他基层集市的集期；

施坚雅用几个例子演示了，最终形成的轮转方式颇为精妙，细节我这儿不描述了，有兴趣的同学可以去看书。

至于第一个问题，或许你已想出答案了，如下图，有三种可能（从左到右分布为A、B、C），疏密不同，对应的深浅蜂窝比例分别为：1:4，1:3，1:6，和你的直觉吻合吗？对比经验数据之后，施坚雅发现，第三种情况（C）实际上不存在，而A和B都很常见，A多见于单位土地产出较低、人口稀疏、交通不便的地区，而B多见于单产高、人口密集的平原地区，其中原因，并不如看上去那么简单（直观上B就比A紧密），说起来比较绕口，还是请看原著吧。